Awalnya didefinisikan sebagai rasio antara keliling lingkaran dan diameternya, pi – Ditulis sebagai surat Yunani π – muncul di seluruh matematika, termasuk di daerah -daerah yang sepenuhnya tidak terhubung ke lingkaran seperti kimia, ilmu fisik dan obat -obatan.
PI termasuk dalam kelompok matematika besar yang disebut irasional bilangan, yang berlangsung selamanya dan tidak dapat ditulis sebagai pecahan. Para ilmuwan telah menghitung pi 105 triliun digitmeskipun kebanyakan dari kita lebih akrab dengan perkiraan 3.14. Tetapi bagaimana kita tahu bahwa PI adalah bilangan irasional?
Bilangan rasional, yang merupakan sebagian besar angka yang kami gunakan dalam kehidupan sehari-hari (meskipun kurang dari setengah dari semua angka yang mungkin), dapat ditulis dalam bentuk satu bilangan bulat dibagi dengan yang lain. PI, dengan string desimal yang rumit, tentu saja tampaknya tidak menjadi bagian dari kelompok ini pada pandangan pertama.
“Rasionalitas adalah sifat praktis memiliki akses ke nomor secara eksplisit, yaitu tanpa perkiraan apa pun … jadi bisa menulis nomor dalam jumlah simbol yang terbatas,” Wadim Zudlillinseorang matematikawan di Radboud University di Belanda, mengatakan kepada Live Science.
Terkait: Apa bilangan prima terbesar yang diketahui?
Namun, sebenarnya membuktikan bahwa Anda tidak dapat menulis PI sebagai sebagian kecil adalah masalah yang sangat mirip dengan masalah. Matematikawan tidak memiliki metode universal untuk menunjukkan bahwa angka tertentu tidak rasional, sehingga mereka harus mengembangkan bukti yang berbeda untuk setiap kasus, dijelaskan Keith Conradseorang ahli matematika di University of Connecticut. “Bagaimana Anda tahu angka bukanlah sebagian kecil?” katanya. “Anda mencoba memverifikasi properti negatif.”
Terlepas dari kesulitan ini, selama 300 tahun terakhir, ahli matematika telah menetapkan bukti berbeda dari irasionalitas PI, menggunakan teknik dari seluruh matematika. Masing -masing argumen ini dimulai dengan asumsi bahwa Pi rasional, ditulis dalam bentuk persamaan. Melalui serangkaian manipulasi dan pengurangan Tentang sifat -sifat dari nilai -nilai yang tidak diketahui dalam persamaan ini, kemudian menjadi jelas bahwa matematika bertentangan dengan pernyataan asli ini, yang mengarah pada kesimpulan bahwa PI harus tidak rasional.
Matematika spesifik yang terlibat seringkali sangat kompleks, biasanya membutuhkan pemahaman tingkat universitas tentang kalkulus, trigonometri, dan seri tak terbatas. Namun, setiap pendekatan bergantung pada gagasan sentral tentang bukti ini dengan kontradiksi.
“Ada bukti menggunakan kalkulus dan fungsi trigonometri“Kata Conrad.” Di beberapa dari mereka, π dipilih sebagai solusi positif pertama untuk berbuat dosa (x) = 0. Bukti pertama oleh Lambert pada 1760 -an menggunakan sepotong matematika yang disebut tak terbatas Fraksi Lanjutan – ini semacam fraksi yang tidak terbatas. “
Namun, alih -alih membuktikan PI bersifat irasional secara langsung, juga dimungkinkan untuk mengkonfirmasi irasionalitas menggunakan properti yang berbeda dari angka tersebut. PI milik kelompok numerik lain yang disebut Nomor Transendental, yang bukan aljabar dan, yang penting, tidak dapat ditulis sebagai akar dari persamaan polinomial. Karena setiap angka transendental tidak rasional, bukti apa pun yang menunjukkan bahwa PI transendental juga membuktikan bahwa PI tidak rasional.
“Menggunakan kalkulus dengan bilangan kompleks, Anda dapat membuktikan π adalah transendental,” kata Conrad. “Bukti menggunakan persamaan yang sangat terkenal yang disebut identitas Euler: EIπ +1 = 0. “
Meskipun kepentingan universal PI dapat timbul dari irasionalitas yang tidak berwujud ini, tujuh atau delapan tempat desimal biasanya lebih dari cukup untuk aplikasi dunia nyata. Bahkan NASA hanya menggunakan 16 digit PI untuk perhitungannya.
“Kami mendekati nilai untuk tujuan praktis, 3.1415926 – itu sudah banyak informasi!” Kata Zudilin. “Tapi tentu saja dalam matematika, itu tidak memuaskan. Kami peduli dengan sifat angka.”
